第655章 彼得·舒尔茨状似完备空间
2011年，舒尔茨提前完成了毕业论文，并将它交给了导师拉波波特。
舒尔茨在这篇论文里，首次提出了状似完备空间(perfectoid space)的概念，把之前由法尔廷斯等人开创的一系列基础理论系统化，
舒尔茨开始了在算术几何领域的科研生涯，这个领域使用几何工具来研究多项式方程的整数解，例如xy²+3y=5这种方程的整数解。
对于这种类型的一些方程，研究它们在被称为p进数(p-adic number)的数域中的解有着丰硕成果。
p进数和实数一样是通过填补整数和有理数之间的间隙构造的（通常称其为完备化），但是关于“这些间隙之中什么样的数是彼此接近”的的概念和通常理解不同：在p进数当中，两个数的差是小的并不能说明它们是接近的，实际上只有它们之间的差可以被p整除足够多次，它们才被认为是接近的。
这是一个奇怪的判断依据，但它是有用的。
以3进数为例，它提供了一种自然的方式去研究形如x²=3y²的方程，因为在其中有着3这样一个关键的因子。
舒尔茨说，p进数“和我们的通常感觉差别很大”。
但是这些年来它们对他来说变得很自然。“如今我认为实数比p进数要难以捉摸得多。我和p进数相处得太久了，以至于现在实数对于我来说显得非常陌生。”
数学家们在1970年代注意到，如果通过构造一个以p进数为底且每一层环绕下面一层p次的无穷的数系的塔来扩张p进数，许多关于p进数的问题会变得更加容易。
在这个无穷的塔的“顶部”的数域是一个“分形”的对象，这也是舒尔茨之后发展的状似完备空间理论的最简单的例子。
舒尔茨给他自己布置了这样一个任务：理清为什么这种无穷环绕的构造能使如此多的有关p进数和多项式的问题变得简单。“我尝试理解这种现象的内核，”他说，“但是并没有能解释它的一般性理论。”
他最终意识到，给很多种数学结构构造出状似完备空间是可行的。
他证明了这些状似完备空间能够将关于多项式的问题从p进数的世界转移到一个不同的数学世界，在其中算术变得更加简单（例如，在做加法时不需要进位）。“状似完备空间最怪异的性质是它们可以在两个数域间魔术般地移动。”韦恩斯坦说。
这一想法促使舒尔茨部分证明了一个被称为权重单值性猜想（weight-monodromy conjecture）的复杂问题。
尽管状似完备空间的理论极其复杂，但舒尔茨的讲座和论文以清晰而闻名。韦恩斯坦称：“在舒尔茨向我解释前，我什么也不理解。”
卡拉亚尼说，每当舒尔茨阐述他的想法，总是想方设法降低难度，试图让那些研究生新生水平人能够理解。“在他的想法中有一种开放和包容的感觉，”她说，“并且他不仅仅和部分资深专家交流想法，实际上一大批的年轻人都有机会与其接触。”卡拉亚尼认为舒尔茨友好且平易近人的举止使得他成为该领域的理想领袖。她提到有一次当她和舒尔茨在与一群数学家进行艰难的“远足”时，他是那个四处奔跑来确保每个人都能跟上的人。
尽管有了舒尔茨的解释，状似完备空间对于其他学者而言仍然是难以驾驭的，赫尔曼说：“如果你离他描绘的道路偏离了一点，那你就会发现自己处于如同丛林中央一般的困境。”但他认为舒尔茨本人“永远不会在丛林中迷失，因为他从未打算在丛林里纠缠。他总是在为了某种清晰明了的概念而寻找俯瞰整个丛林的视角。”
舒尔茨通过强迫自己飞过丛林里的藤蔓来避免被它们所困：就像他大学时一样，他喜欢不写下任何东西来工作。那样他就必须用最清晰的方法来阐明他的想法，他说：“你的大脑只有有限的能力，因此不能在其中做太过复杂的事。”
当其他数学家正开始尝试理解状似完备空间时，舒尔茨和他的合作者已经毫不意外的利用它做出最深刻的发现了。在2013年，他在网上贴出的一个结果“着实让学界震惊”，韦恩斯坦说，“我们都没有意识到这样一个定理即将诞生。”
舒尔茨的结果扩大了互反律的适用范围。互反律用“时钟的算术”（这个时钟不一定是12小时制的）来处理多项式的性质。“时钟的算术”（例如对于有12个小时的时钟，5+8=1）是数学中最自然且被广泛研究的有限数系。
互反律是有着200年历史的二次互反律的推广，而二次互反律是数论的奠基石，也是舒尔茨本人最喜欢的定理之一。这条定律陈述了给定两个素数p和q，在大多数情况下，p在有q个小时的时钟上是一个完全平方数当且仅当q是在有p个小时的时钟上的完全平方数。例如，因为5 = 16 = 4²，5在有11小时的时钟上是平方数，而由于11 = 1 = 1²，11在有5小时的时钟上也是平方数。
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